ベクトル空間とは、その対象の性質ではなく、それらがどのように振る舞うかによって定義される厳密な数学的「遊び場」です。$\mathbf{R}^n$ の矢印、$\mathbf{M}$ の行列、または連続関数にかかわっている場合でも、同じルールが適用されます。
空間の八つの公理
これらの基本的なルールを守る限り、任意の対象の集まりはベクトル空間となります：
- 1. 交換法則： $x + y = y + x$
- 2. 結合法則： $x + (y + z) = (x + y) + z$
- 3. ゼロベクトル： ゼロベクトル $0$ が一意に存在し、$x + 0 = x$ となる
- 4. 逆元： 各 $x$ に対して、一意な $-x$ が存在し、$x + (-x) = 0$ となる
- 5. 単位元： $1x = x$
- 6. スカラーの結合法則： $(c_1c_2)x = c_1(c_2x)$
- 7. 分配法則（Ⅰ）： $c(x + y) = cx + cy$
- 8. 分配法則（Ⅱ）： $(c_1 + c_2)x = c_1x + c_2x$
部分空間の定義
$V$ の部分空間 $S$ とは、大きな空間の演算に関して「閉じている」部分集合です。そのメンバーを加えたりスケーリングしたりしても、決してその部分集合から脱出できません。
閉包定理
任意の $v, w \in S$ および任意のスカラー $c, d$ に対して、次の条件が成り立つとき、部分集合 $S$ は部分空間である：
$$cv + dw \in S$$
これは $S$ がゼロベクトル ($0 \in S$) を含まなければならないことを示しており、なぜなら $0v = 0$ だからです。生成と和
集合 $S$ が生成する スパン は、$S$ に含まれるすべてのベクトルを含む最小の部分空間です：
$$SS = \text{すべての } c_1v_1 + \dots + c_nv_n$$
さらに、二つの部分空間 $S$ と $T$ に対して、その 和 $S + T$（すべてのベクトル $s+t$ を含む）は新たな部分空間を形成します。ただし、 和集合 $S \cup T$ はほとんど常に部分空間になりません！
🎯 「ゼロ」検査
部分空間ではないと断定する最速の方法はゼロベクトルの有無を確認することです。もし $x=0$ が含まれていないならば、それは部分空間にはなりえません。よくある誤りには、原点からずれた平面や負の値を除外する象限などがあります。